■ 　複素平面上のトレミーの不等式
   複素平面上に複素数α～Δの４点を考え、Δを原点に一致するように移動する.それらの距離の関係は、トレミーの不等式として、　
　　　　 　　 ｜α(γ-β)｜ +｜ γ(β-α)｜ ≥ ｜β(γ-α)｜　　  　①　　
と表せる.
　トレミーの定理では等号が成り立つ.

■　トレミーの不等式と同等な式
   いずれの複素数も相異なるから、αβγで除せば、平面上で①を回転、拡大したものとなって、
　　　　　　｜1/β-1/γ｜+ | 1/α-1/β ｜ ≥ ｜1/α-1/γ ｜　　 　①’　
と、見やすくなる.

■　円周上の複素数と反転
　(1,0)中心の円周上に、偏角が大きい順に複素数α、β、γとする.
・円周上にある複素数
　複素数 ω＝a+bi の反転*複素数は、
　　　　　　　　　　　　　 　　1/ω  =   ( a-bi ) / |ω|^2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　`＊ここでいう反転とは、 複素数の逆数をいう.　 　 　
なのだったが、(1,0)中心の円周上にあるから、
　　    　　           　   （a-１）^2+b^2  = 1　
　　　          　　　　　　　　　|ω|^2  = 2a
　　　　　　　　　　　　　　 　 1/ω  = 1/2 - b i  / (2a)    　②
となっている.
　この反転複素数の差は　実数部分が消えて、Re= 1/2 の直線上にあり、複素数の傾きに比例した虚数のみからなる.
　このことから、つぎのような計算でも等号が成立することを知れる.

■　①’の各項；絶対値の距離　
　 ②から、①’の各項；絶対値は、角φjで表せる.また、その大小条件を以前に決めていたから、
　　　　　　 　　 　　　 ｜1/α-1/β ｜ =　( tanφ1-tanφ2 )/2
　のようになる.
　①’  において、左辺は、　
　　　　　　　  　　( tanφ2-tanφ3 )/2 + ( tanφ1-tanφ2 )/2　
   右辺は、
　　　　　　　　                  　( tanφ1-tanφ3 )/2
となり、一致.

■　円周に内接する四角形では①’と①で等号が成立する.
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