■　トレミーの定理の証明は何通りもあるが、少ない字数でできないか.
■　複素平面で複素数αについて、
　　　　　　　　　　｜α-1|=1
　のとき（円周上にのる）、α=1/ωとすると
　　　　　　　　　　|1/ω-1|=1
　から、
　　　　　　　　　　　|1-ω|=|ω|
　つまり、すべてのωが原点及び1,0からの距離が一定な、直線上にある.　・・・（１）

■　上の円周上で、４つの複素数をおく.Re軸となす角の大きい順にα、β、γをおき、Δを原点におけば、4複素数の問題を３複素数で扱える.
　　　　　　  α(γ-β) + γ(β-α) ＝ β(γ-α) 　　　　①
　は、常に成り立つ.
　トレミーの不等式は、この場合つぎのようで、
　  　 ｜α(γ-β)｜ +｜ γ(β-α)｜ ≥ ｜β(γ-α)｜　     ②
　等号が成り立つのがトレミーの定理.

■　②をαβγで除せば、
　　 ｜1/β-1/γ｜+ | 1/α-1/β ｜ ≥ ｜1/α-1/γ ｜　    ②’

（１）から、②’は同一直線上にあり、②’の等号は成り立つ.　//