■　二項分布、ポアソン分布より複雑で面白いのがlogistic分布の最尤推定である.
■　最尤推定をlogistic回帰でなぞる.
　　　　xi ：個人ごとのプロファイル　
　　　　βj ：係数(切片を含む）　　　
　とおく.また、
　　　　yi ：観察された個人ごとイベント発生プロファイル
　とすると、モデル化された発生確率は、
　　　　pi=exp(xiβyi) / (1+exp(xiβ)）
 　　　　　　　　　（yi=1なら、発生する確率、yi=0なら発生しない確率） 
　となる.
　　　　　　　　*　yiは 0,1 のいずれかをとる.
　　　　　　　　　expの肩にかけると pi と 1-pi が一式で表現できるのがミソ

　尤度、　　
　　　　ℒ = π  pi　
　つまり、　　　　
　　　　ℒ = π  exp(xiβyi) / (1 + exp(xiβ))
　について、最大化するβiをもとめるため、対数尤度　L
　　　　L = Σxiβyi - Σln（1+exp(xiβ)）
　を扱う.[1,2]

　βで微分すると、expを含んだ右項は、なんとpi の形に戻り、（[3]、例は[4]）次のようになる.
　　　β。で微分・・　Σyi - Σ pi = 0　　　①
　　　βi 　　　 ・・　Σxiyi - Σ pixi = 0　　②
　これを解いて最尤な係数を求める.
　なおxが多段階な量であるとき②は、xによる加重平均の形になる.

　①は、データの平均が推定する係数を縛り、②は、曝露した因子が発生を説明するという拘束が課されることとなる.

　　　参考文献　：[1] 菅 氏「R でロジスティック回帰分析」harp.lib.hiroshima-u.
　　　　　　　　　[2] 外山氏辻谷氏　「実践R統計分析」　オーム社
　　　　　　　　　[3]  Scott A. Czepie,Maximum Likelihood Estimation of Logistic
　　　　　　　　　　 Regression Models: Theory and Implementation
　　　　　　　　　[4] 土居氏　一般化線形モデル入門の入門
　　　　　　　　　
■　Rでは最尤推定の計算は内部で処理され、結果はあっけなく現れる.手計算するためには、表計算で、プロファイルとなるxi、yiについて01を入力したリストを作り左辺を計算する.一方適当な係数からなるセルとyiの間で計算したpiを和し、最小となる係数を探る.（手計算例は以前の記事に掲載済)初めに与える係数は、MHORと、コントロールグループの発生率から計算したoddsを用いて係数ベクトルを求める手計算を体感すると、重回帰での最尤推定の巧妙さが実感できる.

■　最尤推定の計算過程：微分対数尤度による係数の最適化とは、要するに観察した曝露、イベント発生の両プロフィールによる行列に対して、曝露と発生確率（係数ベクトル）による行列を近づける作業だった.
■　面白いところは、とくに対数尤度を微分すると再度pi()が現れて、それが観察した情報xi、yiとの対応に直感的な結びつけができるところにある.

■　①②の性質から、glmでは、ある因子を出し入れするだけで係数が変化する.とくに事例に強く関連する因子が抜けたとき、異常な推定がなされることになる.層化解析を併用すべき理由である.しかしこのことが、重要な因子が手元になかったことを気づかせる.
　また、交互作用など留意する必要が出てくる.　

□　係数の関係式
　推定係数は、フルモデルとreduceモデルでは異なる. 　関連記事：　https://moruke.muragon.com/entry/133.html

　reduceモデルの試行から、いずれの係数も変化する、とくにBGの異常は見逃せない.
　BGを示す係数は、β。である.　
用語　
　係数＝glmで推定されるcoefficients