（　yahooブログ2015/12/8(火) 午後 8:52転載）
◆　要約
一般化線形回帰モデルglmに現れるinterceptは、知られていない性質がある.reduce modelにおいて、intercept、因子係数にはreduceされた因子の影響が映されるが、残された因子の係数はその性質を保つことがある.
                                                                                                                                 

◆　概要
　同一事例のデータについて様々なreduceモデルをつくるとき、切片β。が値を変化させる.この変化は他の係数にも及ぶことがある（代償性変化とよぶ）.代償性変化が起こるときについて調べる.複数の事例を解析すると、reduceされる因子係数が負のとき、切片では正へと変化する.

・切片が、null modelでは、全体発症率や群発症率によって起点的に数値が決まる（これを起点的数と呼ぶ）.
・一方で、一部因子を投入されたモデルでは、null modelのものとは異なる値となる.
・この違いはreduceされている因子の係数に関連し、隠れた因子の影響が現れている（暗示因子的数値と呼ぶ）.
　係数に起こる変化のうち、因子間に代償性変化があるときは、やや複雑で、モデルに残った因子の係数が、みかけ上増強され、切片の値、SEも変化し、残った因子の実質的な信頼度は下がる.このことは、残された因子係数を単純に判断することが危険であり、これに応じた解釈を要することになる.

《試行》　reduceされた因子に応じて切片を含むcoefficientsに及ぶが、これが、投入されていない（不明な）因子を探る手がかりとなる.不明な因子を探索する手段になる.
◆　詳細
　簡単な回帰モデルで、切片はx=0におけるyの値であり、ロジスティック回帰では、因子の影響なしとしたときのｲﾍﾞﾝﾄ発生割合と理解する（帰無仮説）.
　　＊＊＊　事例の全体発症率が、帰無仮説の起点である  ＊＊＊
重回帰ロジスティックを使いながら考える.
　ｅの指数部分、線形予測子；ｚを
　　　　　　　　　　ｚ = β。+ （Σi=1、ｎ）βi　　　　　　・・・・　①
　　　　　　　　　　　　　　　ｎ：因子数、　βi；明示的なモデル投入因子
　とする.
◆[起点的意味]　＿改　　
　因子が投入されていないから線形予測子ｚの実因子部分はすべて無関与（0）となり、
　　　　　　　　　　z = βnull
　 　　　　　　　　　 = β。
　観光船事例の発生割合から、機械的にnull　modelの切片を求めには、
　　　　　　ｎo / N　=　98/221　(人)　＝0.443　　
　　　　　　　　　　　　　　　　ｎo：患者数、N全体人数
率をあらわす式
　　　　 　　ｎo / N = exp(ｚ)　/　（１＋ｅｘｐ（ｚ））=0.443　
として、z=β。について解けば、
　　　　　　　　β。=　-0.2272

が得られる.
　.全体発症率が0.5に近いために、0に近くなっている.この操作を係数化ということにする.または、率をあらわす式を経ないで、
　　　　　　　　β。=　ln(n/(N-n))　=　　ln(ｒ）-ln(1-r)　
　　　　　　　　　　　　　　r : 事件の発症率
としても導出できる.
　この事例の、因子を含んだモデル*のglm推定により、
　　　　 　　β。glm　=　-0.25
　　　　　　　　　　　　　*　任意因子から作ったモデル.
　　　　　　　　　　　　　　reduce modelであるか、交互作用項
　　　　　　　　　　　　　　投入モデルかにかかわらない
　　　　　　　　　　　　　（ただし、影響ある因子がreduceされたり、
　　　　　　　　　　　　　　発散がないこと）
　あたりの大きの切片が見いだされる.
　得られた数値；事例の発生割合からのβ。値と　null modelにおける値は、おおむね一致し、事例の発生割合がβ。を（ほぼ）決定する場合、切片は起点的意味のみをもっている、とし、起点的値部分が決まる.
　この差を誤差とし、引き続き投入した因子からORや、率の検討をすすめることができる.
◆暗示的意味　＿改
　次に、reduceなどで構成する因子が異なるmodel推定を実施すると、切片であるβ。が異なってくる.これをβ。'とする.この意味づけをする.
＊ 暗示因子の影響割合（切片差；Δβ。）を式とすると、
　　　　　　Δβ。=　β。'　- β。　=　β。'　-　{ （ln)r)-ln(1-r) }
　 　　　　　 　β。' : reduce model（元modelでもかまわない）のβ。
　redude された因子の係数の大きさβiによる、reduce modelの変化を切片差Δβ。として観察すると両者に量的な関係が観察される.　　
◆　coefficientsへの影響例
　単純な例で説明する.reduceされた因子の大きさがβ。にもたらす代償性の変化をみる.
deltabeta　左図は、納豆オクラ事例から8因子modelをつくり、4因子をそれぞれreduceしたときの、因子係数βiによるreduce modelのΔβ。をプロットしたものである.
　因子reduceの影響が、横軸での大きさとし、modelごと縦軸：Δβ。の大きさに反映されると予想した.実例で各reduce modelの切片差はreduceされた因子の大きさをリニアに映す.
　ここで、reduceされた因子の係数　βi
　　　　　　　　　　　βi　∝　Δβ。　
　となることが明らか.

　一方、よく調べると係数に対しても変化がおこっている.和したΣβiの変化；差ΔΣβiが、reduceした因子と負の関連を示す.
　なお、このようなΔβ。のreduce 因子とのシンプルなリニア関係は、Oswego事例でも確認できる.　　　
・暗示因子は、抑制または生起側への数値を示すが、誤差のみであるかどうかは、０±ε であることを調べる.
　ここまでのまとめ

　　　　＊＊＊　β。は、発症率で規定される、ln(r)-ln(1-r) 部分と、　　　＊＊＊
　　　　＊＊＊　隠れた因子（Δβ。とも記載する）の影響部分から成る　＊＊＊

　　　　＊＊＊　Δβ。とΔΣβiは、reduceされた因子の係数と関連する　＊＊
　　　　＊＊＊　それは、前者で正、後者では、負である　　　　　　　＊＊＊

　□　reduceによって、係数を含むcoefficientsに及ぼされる影響が一定でない例がある.
　他の因子がriskyな要素を持ちうる場合である.
　□サプレッサー
　水　は、サプレッサーとして働いている例がある.
　サプレッサーをreduceするとβ。はこれをストレートに反映する.
　□交互作用項
　交互作用項投入によってもβ。'が動く.お茶-佃煮交互作用モデルでβ。'が大きくなっている.旧yahoo記事；[MH法による調整値とglm推定係数の比較].
◆　方法の整理
　・層化・MH法
　・reduceされたかもしれない因子のモデル解析（β。）
　・交互作用項投入

◆coefficients の意味をまとめる.
　glm、ロジスティック回帰の推定に表れる線形予測子；ｚを次のように単純化した式で示す.
　　　　　　　　　ｚ = β。+ （Σi=1、ｎ）βi　　　　　　　　　　　　・・・・　①
　1つの因子をreduceし、代償性変化が起こることを予測式として記述すると、
　　　　　　　　　z' = β。+ Δβ。+ Σβi+ΔΣβi　　　・・・・　①’
となる.切片と因子の係数がともに変化することを示す.　
＊Δβ。とΔΣiの符号が逆であり、また、線形予測子全体z'（各reducemodelの）は、
　　　　　　　　　z'　=　const
を維持し、事例全体の発症率を保持している.
＊　代償性変化の影響は、β。やΣβiに対して一様とは限らない.

◆　因子reduceにより、モデルの推定値が変化することは、最尤推定が持つ性質によるが、因子間に曝露重複という関連があることも見る必要がある.曝露が偏った因子同士には、みかけの効果が含まれる.ために、層化による観察も必要となる.線形モデルではもともと各因子に独立性を仮定しているが、モデル作成時、あらかじめ知れないものである.