■　調和平均の調和平均
”調和平均の調和平均”　はどうなっているか・・・　　

■　交換性　
nに適当な数をおいてみる.
・調和平均の調和平均では、
　( ((1/3+1/20)^-1 )^-1 +((1/10+1/30)^-1)^-1 )^-1
　[1] 1.935484
は、要素を入れ替えた、
　 ( ((1/3+1/10)^-1 )^-1 +((1/20+1/30)^-1)^-1 )^-1
　[1] 1.935484
と、一致し要素交換不変.

　調和平均の算術平均では、
　 ( ((1/3+1/20)^-1 ) +((1/10+1/30)^-1) )/2
　[1] 5.054348
　( ((1/3+1/10)^-1 ) +((1/20+1/30)^-1) )/2
　[1] 7.153846
と、交換不変でない、都合の悪い結果となる.また算術平均の調和平均でも同様.

　　　 hm(ni, nj, nk‥)　=　hm(nj, ni, nk‥)　=・・・

実は、調和平均の調和平均では、nが等しく扱われる.

　　　 　　　　　1　　　　　
　　　 　1  + 1  + 1  + 1 
　　　　 n1  n2    n3   n4　
　　　　　　　
なので分母の中で交換可能になっている.
　交換不変であること、とは層化においては、t w あるなしについてその順番によって変化しない数値であるということを保証している.