トレミーの定理--複素数を使う証明をめぐって
■ トレミーの定理の証明は何通りもあるが、少ない字数でできないか.
■ 複素平面で複素数αについて、
|α-1|=1
のとき(円周上にのる)、α=1/ωとすると
|1/ω-1|=1
から、
|1-ω|=|ω|
つまり、すべてのωが原点及び1,0からの距離が一定な、直線上にある. ・・・(1)
■ 上の円周上で、4つの複素数をおく.Re軸となす角の大きい順にα、β、γをおき、Δを原点におけば、4複素数の問題を3複素数で扱える.
α(γ-β) + γ(β-α) = β(γ-α) ①
は、常に成り立つ.
トレミーの不等式は、この場合つぎのようで、
|α(γ-β)| +| γ(β-α)| ≥ |β(γ-α)| ②
等号が成り立つのがトレミーの定理.
■ ②をαβγで除せば、
|1/β-1/γ|+ | 1/α-1/β | ≥ |1/α-1/γ | ②’
(1)から、②’は同一直線上にあり、②’の等号は成り立つ. //